11 #11_3 Альтаир

[Пуся!]

легко сказать.. лягай...
у меня - семеро по лавкам.. пока улягутся , угомонятся..мне проще их залягать..
а потом уже самой ... хоть улягайся...

Как-то они у тебя поздно. Я вот тоже целый день как муха

 

[Диана_]

Эт не мое творчество увы

жаль))) не сказать, конечно, что мне сильно понравилось и прям впечатлена, но жаль...))))))

 

[Пуся!]

жаль))) не сказать, конечно, что мне сильно понравилось и прям впечатлена, но жаль...))))))

Вот и я хотела написать, что надеюсь у Андрея получилось бы красивше))))

 

[Пуся!]

Андрей, а за лайки гроши получаешь или нет?

 

[Andrey_NU]

Вот и я хотела написать, что надеюсь у Андрея получилось бы красивше))))

...Когда же юности мятежной
Прошла Евгения пора,
Пора любви и грусти нежной
Монсье прогнали со двора...

 

[Andrey_NU]

Андрей, а за лайки гроши получаешь или нет?

А я хз?

 

[Пуся!]

Спокойной ночи

 

[Andrey_NU]

Спокойной ночи

Спокойной

 

[Пуся!]

Доброе утро!!!

 

[Andrey_NU]

Привет

 

[Пуся!]

Привет

Привет
Мы опять вдвоем?)))) Хде вашпе все? предновогодний кипиш????

 

[Andrey_NU]

Привет
Мы опять вдвоем?)))) Хде вашпе все? предновогодний кипиш????

Ооо, приуэт!
Эщельбе бещельме жамбех пашамбе эшельбе шайтанама!

 

[Пуся!]

Ну Вадима я понимаю. Он утром с грустным видом всех провожает на учеьу/работу. Цалует и говорит буду скучать, а сам в трусах, чашкой чая и улыбкой как на аве танцует под новые клипы

 

[Vadim0812]

Ну Вадима я понимаю. Он утром с грустным видом всех провожает на учеьу/работу. Цалует и говорит буду скучать, а сам в трусах, чашкой чая и улыбкой как на аве танцует под новые клипы

 

[Vadim0812]

Привет друзья!
Как быстро проходит время в отпуске ужеж вторник!!!
Нас настойчиво заметает снегом, в городе транспортный калапс. Но относительно тепло (-5)
В место 40 мин на дорогу ушло полтора часа. Вывод- лучшие сидеть дома в такую погоду или гулять по парку или в бор на лыжи. А ещё сегодня родительское собрание!! Пуся, Диана клипсы надевать?
В общем вечер будет весёлым!

 

[Пуся!]

Пуся, Диана клипсы надевать?

Я думаю надо)))) И брови причесать не забудь)))
А то потом люди скажут , что не подготовился. Нам за тебя будет не удобно

 

[Пуся!]

В общем вечер будет весёлым!

Если клипсы наденешь, то вашпе веселый я думаю)))

 

[Пуся!]

Спойлер: Ха

 

[Пуся!]

Как объяснить ребёнку дроби с помощью "Лего"

 

[Andrey_NU]

Как объяснить ребёнку дроби с помощью "Лего"

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция {\displaystyle \ f(x)}

имеет в окрестности точки {\displaystyle \ x_{0}}

непрерывную вторую производную {\displaystyle \ f''(x)}

, то, как это следует из формулы Тейлора

{\displaystyle \ f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}

при {\displaystyle r\to 0,}

,
{\displaystyle \ f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}

при {\displaystyle r\to 0,}

вторая производная есть предел

{\displaystyle \ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.}

Если, переходя к функции {\displaystyle \ F}

от {\displaystyle \ k}

переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки {\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{k}^{0})}

рассматривать её {\displaystyle \ k}

-мерную шаровую окрестность {\displaystyle \ Q_{r}}

радиуса {\displaystyle \ r}

и разность между средним арифметическим

{\displaystyle \ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma }

функции {\displaystyle \ F}

на границе {\displaystyle \ S_{r}}

такой окрестности с площадью границы {\displaystyle \ \sigma (S_{r})}

и значением {\displaystyle \ F(M_{0})}

в центре этой окрестности {\displaystyle \ M_{0}}

, то в случае непрерывности вторых частных производных функции {\displaystyle \ F}

в окрестности точки {\displaystyle \ M_{0}}

значение лапласиана {\displaystyle \ \Delta F}

в этой точке есть предел

{\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.}

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции {\displaystyle \ F}

, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

{\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2(k+2)}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\omega (Q_{r})}}\int \limits _{Q_{r}}F(M)d\omega -F(M_{0})\right\},}

где {\displaystyle \ \omega (Q_{r})}

— объём окрестности {\displaystyle \ Q_{r}.}

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в[2].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции {\displaystyle \ F.}

Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат[править | править вики-текст]
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве {\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}}

:

{\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}

{\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}

где {\displaystyle H_{i}\ }

— коэффициенты Ламе.
Цилиндрические координаты[править | править вики-текст]
В цилиндрических координатах вне прямой {\displaystyle \ r=0}

:

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
Сферические координаты[править | править вики-текст]
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
или

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
В случае если {\displaystyle \ f=f(r)}

в n-мерном пространстве:

{\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}

Параболические координаты[править | править вики-текст]
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}
Цилиндрические параболические координаты[править | править вики-текст]
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

{\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}

Общие криволинейные координаты и римановы пространства[править | править вики-текст]
Пусть на гладком многообразии {\displaystyle X}

задана локальная система координат и {\displaystyle g_{ij}}

— риманов метрический тензор на {\displaystyle X}

, то есть метрика имеет вид

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}

.
Обозначим через {\displaystyle g^{ij}}

элементы матрицы {\displaystyle (g_{ij})^{-1}}

и

{\displaystyle g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}}

.
Дивергенция векторного поля {\displaystyle F}

, заданного координатами {\displaystyle F^{i}}

(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка {\displaystyle \sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}

) на многообразии Xвычисляется по формуле

{\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})}

,
а компоненты градиента функции f — по формуле

{\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}

Оператор Лапласа — Бельтрами на {\displaystyle X}

:

{\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.}

Значение {\displaystyle \Delta f}

является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.